小学数学趣题巧算百题百讲百练－－几何部分

　　由以上分析、计算发现，将校长为1厘米、3厘米、5厘米、7厘米的四个正方体锯成棱长为1厘米的小正方体后，得到至少有一个面为红色的小正方体共有

　　13+33-（3-2）3+53-（5-2）3+73-（7-2）3

　　=13+33-13+53-33+73-53

　　=13+33+53+73-13-33-53=73=343（个）

　　按照这样的规律可得，将棱长为1厘米、3厘米、5厘米、7厘米、9厘米、……、99厘米这50个正方体锯成棱长为1厘米的小正方体后，得到至少有一个面为红色的小正方体共有：

　　13+33+53+73+93+……+973+993-13-33-53-73-93-……-973=993=970299（个）

　　答：至少有一个面是红色的小正方体共有970299个。

　　例41 有棱长为 1、2、3、……、99、100、101、102厘米的正方体102个，把它们的表面都涂上红漆，晾干后把这102个正方体都分别截成1立方厘米的小正方体，在这些小正方体中，只有2个面有红漆的共有多少个？

　　分析与解 根据题意，首先应该想到只有2个面有红漆的小正方体，都在原来大正方体的棱上。原来棱长是1厘米、2厘米的正方体，将它截成1立方厘米的小正方体后，得不到只有2个面有红漆的小正方体。棱长是3厘米的正方体，将它截成1立方厘米的小正方体后，大正方体的每条棱上都有1个小正方体只有2个面有红漆。每个正方体有12条棱，因此可得到 12个只有 2个面有红漆的小正方体，即共有（3-2）×12个。

　　棱长为4厘米的正方体，将它截成1立方厘米的小正方体后，得到只有 2个面有红漆的小正方体共（4-2）×12个。

　　依此类推，可得出，将这102个正方体截成1立方厘米小正方体后，共得到只有2个面有红漆的小正方体的个数是：

　　[（3-2）+（4-2）+（5-2）+……+（102-2）]×12

　　=[1+2+3+……+100]×12

　　=60600

　　答：只有2个面有红漆的小正方体共有60600个。

　　例42 有一个长方体木块，长125厘米，宽40厘米，高25厘米。把它锯成若干个体积相等的小正方体，然后再把这些小正方体拼成一个大正方体。这个大正体的表面积是多少平方厘米？

　　分析与解 一般说来，要求正方体的表面积，一定要知道正方体的棱长。题中已知长方体的长、宽、高，同正方体的棱长又没有直接联系，这样就给解答带来了困难。我们应该从整体出发去思考这个问题。

　　按题意，这个长方体木块锯成若干个体积相等的小正方体后，又拼成一个大正方体。这个大正方体的体积和原来长方体的体积是相等的。已知长方体的长、宽、高，就可以求出长方体的体积，这就是拼成的大正方体的体积。进而可以求出正方体的棱长，从而可以求出正方体的表面积了。

　　长方体的体积是

　　125×40×25=125000（立方厘米）

　　将 125000分解质因数：

　　125000=2×2×2×5×5×5×5×5×5

　　=（2×5×5）×（2×5×5）×（2×5×5）

　　可见大正方体的棱长是

　　2×5×5=50（厘米）

　　大正方体的表面积是

　　50×50×6=15000（平方厘米）

　　答：这个大正方体的表面积是15000平方厘米。

　　例43 一个正方体形状的木块，棱长2分米。沿水平方向将它锯成3片，每片又锯成4条，每条又锯成5小块，共得到大大小小的长方体60块（如图30）。这60块长方体表面积的和是多少平方分米？

　　分析与解 解答这道题的最直接的想法是将这大大小小的60个长方体形状的小木块的表面积分别计算出来，然后再求出总和，这样做是可以的，但计算极为复杂。因此解答这题时，应从整体出发，这样，问题就简单多了。

　　这个正方体形木块在未锯成60个长方体形状的小木块前，共有6个面，每个面的面积是2×2=4平方分米，6个面共24平方分米。不管后来锯成多少块小长方体，这6个面的24平方分米的面积总是后来的小长方体的表面积的一部分。

　　现在我们来考虑将木块每锯一刀的情况。显然，每锯一刀就会增加2个4平方分米的表面积，根据题意，现在一共锯了2+3+4=9刀，共增加了18个4平方分米的表面积。

　　因此，这60块大大小小的长方体的表面积总和是

　　24+4×18=96（平方分米）

　　或列式为

　　2×2×[6+（2+3+4）×2]

　　=4×[6+18]

　　=4×24

　　=96（平方分米）

　　答：60块长方体表面积的和是96平方分米。

　　例44 一个圆柱体，底面半径是5厘米，这个圆柱体的侧面积是100平方厘米。它的体积是多少立方厘米？

　　分析与解 一般的解法是先求出圆柱体的高和底面积，再求圆柱体的体积。

　　圆柱体的高：

　　圆柱体的底面积：

　　3.14×52=78.5（平方厘米）

　　圆柱体的体积：

　　我们已知学过，用切拼的方法，可以把一个圆柱体切拼成一个与它等体积的近似的长方体（如图31）

　　观察图31不难发现，圆柱体的体

　　积等于侧面积的一半与底面半径的乘积，即

　　用这个式子计算题中圆柱体的体积，就比用一般的方法计算要简便多了。

　　答：圆柱体的体积是250立方厘米。

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